神经网络反向传播的推导

对于神经网络的训练过程而言，其反向传播算法是训练过程的核心，神经网络根据预测值y^\hat{y}与实际值yy的偏差从后向前来计算损失函数对于各个参数的梯度，从而利用梯度下降的方法来优化训练神经网络的各个参数。

神经网络的计算流程图如下：

神经网络反向传播计算流程图
神经网络的计算流程图：展示前向传播和反向传播中各参数的梯度计算路径

从该流程图可以看到，如果我们要计算神经网络的参数W[1],b[1],W[2],b[2]W^{[1]},b^{[1]},W^{[2]},b^{[2]}，首先需要计算∂L∂a[2]\frac{\partial L}{\partial a^{[2]}}和∂a[2]∂z[2]\frac{\partial a^{[2]}}{\partial z^{[2]}}，然后根据链式法则得到∂L∂z[2]=∂L∂a[2]∂a[2]∂z[2]\frac{\partial L}{\partial z^{[2]}}=\frac{\partial L}{\partial a^{[2]}}\frac{\partial a^{[2]}}{\partial z^{[2]}}。

之后再计算∂z[2]∂W[2]\frac{\partial z^{[2]}}{\partial W^{[2]}}和∂z[2]∂b[2]\frac{\partial z^{[2]}}{\partial b^{[2]}}，同样根据链式法则可以得到∂L∂W[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂W[2]\frac{\partial L}{\partial W^{[2]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{[2]}}\frac{\partial z^{[2]}}{\partial W^{[2]}}以及得到∂L∂b[2]=∂L∂z[2]∂z[2]∂b[2]\frac{\partial L}{\partial b^{[2]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{[2]}}\frac{\partial z^{[2]}}{\partial b^{[2]}}。这样便得到了dW[2]dW^{[2]}和db[2]db^{[2]}。

另外对于dW[1]dW^{[1]}和db[1]db^{[1]}的计算，需要先计算∂z[1]∂W[1]\frac{\partial z^{[1]}}{\partial W^{[1]}}，∂a[1]∂z[1]\frac{\partial a^{[1]}}{\partial z^{[1]}}和∂z[2]∂a[1]\frac{\partial z^{[2]}}{\partial a^{[1]}}，同样根据链式法则可以得到∂L∂W[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂W[1]\frac{\partial L}{\partial W^{[1]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{[2]}}\frac{\partial z^{[2]}}{\partial a^{[1]}}\frac{\partial a^{[1]}}{\partial z^{[1]}}\frac{\partial z^{[1]}}{\partial W^{[1]}}，以及∂L∂b[1]=∂L∂z[2]∂z[2]∂a[1]∂a[1]∂z[1]∂z[1]∂b[1]\frac{\partial L}{\partial b^{[1]}}=\frac{\partial L}{\partial z^{[2]}}\frac{\partial z^{[2]}}{\partial a^{[1]}}\frac{\partial a^{[1]}}{\partial z^{[1]}}\frac{\partial z^{[1]}}{\partial b^{[1]}}。这样也得到了dW[1]dW^{[1]}和db[1]db^{[1]}。

在使用随机梯度下降(SGD)优化算法以及交叉熵(Cross Entropy)损失函数的时候，我们令a[2]=y^a^{[2]}=\hat{y}，即损失函数： L(y^,y)=−(ylogy^+(1−y)log(1−y^))L(\hat{y},y)=-(ylog\hat{y}+(1-y)log(1-\hat{y}))

使用sigmoid激活函数，即 a[1]=σ(z[1])=11+e−z[1]a[2]=σ(z[2])=11+e−z[2]a^{[1]}=\sigma(z^{[1]})=\frac{1}{1+e^{-z^{[1]}}}\\a^{[2]}=\sigma(z^{[2]})=\frac{1}{1+e^{-z^{[2]}}}

将该激活函数和损失函数代入上面的计算过程，可以得到：

dz[2]=a[2]−ydW[2]=dz[2]a[1]Tdb[2]=dz[2]dz[1]=W[2]Tdz[2]∗σ′(z[1])dW[1]=dz[1]xTdb[1]=dz[1]dz^{[2]}=a^{[2]}-y\\ dW^{[2]}=dz^{[2]}a^{[1]T}\\ db^{[2]}=dz^{[2]}\\ dz^{[1]}=W^{[2]T}dz^{[2]}*\sigma^{'}(z^{[1]})\\ dW^{[1]}=dz^{[1]}x^{T}\\ db^{[1]}=dz^{[1]}

在进行随机梯度下降的过程中，随机选取样本中的一个错误分类点，根据该点计算当前的dW[1],db[1],dW[2],db[2]dW^{[1]},db^{[1]},dW^{[2]},db^{[2]}，然后利用以下公式来更新W[1],b[1],W[2],b[2]W^{[1]},b^{[1]},W^{[2]},b^{[2]}：

W[2]:=W[2]−α∗dW[2]b[2]:=b[2]−α∗db[2]W[1]:=W[1]−α∗dW[1]b[1]:=b[1]−α∗db[1]W^{[2]}:=W^{[2]}-\alpha *dW^{[2]}\\ b^{[2]}:=b^{[2]}-\alpha *db^{[2]}\\ W^{[1]}:=W^{[1]}-\alpha *dW^{[1]}\\ b^{[1]}:=b^{[1]}-\alpha *db^{[1]}

直到收敛为止。

对于神经网络的训练，还有批量梯度下降(Batch Gradient Descent)和小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent)，带动量的随机梯度下降(Momentum)，RMSProp，Adam等方法，后面再做详解。

To be continued…

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